Multiplicação de Matrizes

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Determinantes

Podemos calcular o determinante de qualquer matriz desde que essa seja quadrada, ou seja, que a matriz tenha o mesmo número de linhas e de colunas (seja uma matriz de ordem n x n).

Podemos dizer que determinante de uma matriz quadrada é o seu valor numérico.

Os elementos de uma matriz podem ser colocados entre parênteses, colchetes ou entre duas barras duplas; e os elementos dos determinantes são colocados entre duas barras.

• Matriz de ordem 1

Quando uma matriz possui apenas um elemento ou possui apenas uma linha e uma coluna, dizemos que essa matriz é de ordem 1. 

Exemplos:

Se A = [10], então o seu determinante será representado assim: det A = |10| = 10
Se B = (-25), então o seu determinante será representado assim: det B = |-25| = -25

Podemos concluir que o determinante de ordem 1 terá o seu valor numérico sempre igual ao seu elemento.
 

• Matriz de ordem 2

Dada a matriz A de ordem dois A =  , o seu determinante será calculado da seguinte forma:

O determinante de ordem dois possui uma diagonal principal e uma diagonal secundária.



O cálculo do seu valor numérico é feito pela diferença do produto da diagonal principal com o produto da diagonal secundária.

det A = = - 3 – (- 10) = - 3 + 10 = 7

• Matriz de ordem 3

Dada a matriz de ordem 3, B = o valor numérico do seu determinante é calculado da seguinte forma:
Primeiro representamos essa matriz em forma de determinante e repetimos as duas primeiras colunas.

det B =

Depois calculamos os produtos das diagonais principais e os produtos das diagonais secundárias.

det B =

Deve-se pegar o oposto dos produtos das diagonais secundárias e somar com os produtos das diagonais principais.

Det B = – (0 + 40 + 0) –15 + 0 – 4 = – 40 – 19 = – 59

Essa regra utilizada no cálculo do determinante de matriz de ordem 3 é chamada de Regra de Sarrus.

Multiplicação de Matrizes

Na multiplicação de matrizes é necessário que o número de colunas da 1° matriz seja igual ao número de linhas da 2° matriz, uma vez que para chegar ao resultado iremos multiplicar as linhas por colunas e somar os elementos, para assim obter o resultado da matriz produto.

Lendo a definição parece difícil e complicado, porém é bastante simples e fácil, basta ter atenção, acompanhe o exemplo abaixo no qual multiplicaremos uma matriz A da ordem 3×2(3 linhas e 2 colunas) por um matriz B da ordem 2×3(2 linhas e 3 colunas).

 

Ex:

1)  Dada as matrizes A = , B = , C = calcule: 3A + 2B – 5C

 

Subtração de Matrizes

O resultado da subtração de duas matrizes se obtém adicionando-se a primeira matriz com a oposta da segunda matriz.
Na subtração é importante tomar cuidado e prestar bastante atenção com os sinais.

Ex:
1) Dadas as matrizes A e B, calcule A - B.

Adição de Matrizes

 A adição de duas matrizes A e B, do mesmo tipo, se obtém adicionando-se os elementos correspondentes (mesma posição).

 

 Ex:
1) Dadas as matriz A e B, qual é a soma de A + B ?
 

 

Igualdade de Matrizes

►Matrizes Iguais

Dada uma matriz A e uma matriz B, as duas são iguais se e somente se são do mesmo tipo e cada elemento da primeira matriz é igual ao correspondente da segunda matriz.

Ex: Para que as matrizes A e B sejam iguais, quais são os valores de a, b, c e d?

Matriz Transposta e Matriz Oposta

►Matriz Transposta
 

Dada uma matriz A, chamamos de matriz transposta trocando-se, “ordenadamente”, suas linhas por colunas. Indicamos a matriz transposta de A por Aᵀ.

Exemplos:

Observação:

A 1ª linha de A corresponde a 1ª coluna de Aᵀ.

A 2ª linha de A corresponde a 2ª coluna de Aᵀ.

►Matriz Oposta
Troca-se o sinal de todos os elementos de B encontramos a matriz oposta de B e indicamos por -B.

A matriz oposta a ela é: