Multiplicação de Matrizes

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Determinantes

Podemos calcular o determinante de qualquer matriz desde que essa seja quadrada, ou seja, que a matriz tenha o mesmo número de linhas e de colunas (seja uma matriz de ordem n x n).

Podemos dizer que determinante de uma matriz quadrada é o seu valor numérico.

Os elementos de uma matriz podem ser colocados entre parênteses, colchetes ou entre duas barras duplas; e os elementos dos determinantes são colocados entre duas barras.

• Matriz de ordem 1

Quando uma matriz possui apenas um elemento ou possui apenas uma linha e uma coluna, dizemos que essa matriz é de ordem 1. 

Exemplos:

Se A = [10], então o seu determinante será representado assim: det A = |10| = 10
Se B = (-25), então o seu determinante será representado assim: det B = |-25| = -25

Podemos concluir que o determinante de ordem 1 terá o seu valor numérico sempre igual ao seu elemento.
 

• Matriz de ordem 2

Dada a matriz A de ordem dois A =  , o seu determinante será calculado da seguinte forma:

O determinante de ordem dois possui uma diagonal principal e uma diagonal secundária.



O cálculo do seu valor numérico é feito pela diferença do produto da diagonal principal com o produto da diagonal secundária.

det A = = - 3 – (- 10) = - 3 + 10 = 7

• Matriz de ordem 3

Dada a matriz de ordem 3, B = o valor numérico do seu determinante é calculado da seguinte forma:
Primeiro representamos essa matriz em forma de determinante e repetimos as duas primeiras colunas.

det B =

Depois calculamos os produtos das diagonais principais e os produtos das diagonais secundárias.

det B =

Deve-se pegar o oposto dos produtos das diagonais secundárias e somar com os produtos das diagonais principais.

Det B = – (0 + 40 + 0) –15 + 0 – 4 = – 40 – 19 = – 59

Essa regra utilizada no cálculo do determinante de matriz de ordem 3 é chamada de Regra de Sarrus.

Multiplicação de Matrizes

Na multiplicação de matrizes é necessário que o número de colunas da 1° matriz seja igual ao número de linhas da 2° matriz, uma vez que para chegar ao resultado iremos multiplicar as linhas por colunas e somar os elementos, para assim obter o resultado da matriz produto.

Lendo a definição parece difícil e complicado, porém é bastante simples e fácil, basta ter atenção, acompanhe o exemplo abaixo no qual multiplicaremos uma matriz A da ordem 3×2(3 linhas e 2 colunas) por um matriz B da ordem 2×3(2 linhas e 3 colunas).

 

Ex:

1)  Dada as matrizes A = , B = , C = calcule: 3A + 2B – 5C

 

Subtração de Matrizes

O resultado da subtração de duas matrizes se obtém adicionando-se a primeira matriz com a oposta da segunda matriz.
Na subtração é importante tomar cuidado e prestar bastante atenção com os sinais.

Ex:
1) Dadas as matrizes A e B, calcule A - B.

Adição de Matrizes

 A adição de duas matrizes A e B, do mesmo tipo, se obtém adicionando-se os elementos correspondentes (mesma posição).

 

 Ex:
1) Dadas as matriz A e B, qual é a soma de A + B ?
 

 

Igualdade de Matrizes

►Matrizes Iguais

Dada uma matriz A e uma matriz B, as duas são iguais se e somente se são do mesmo tipo e cada elemento da primeira matriz é igual ao correspondente da segunda matriz.

Ex: Para que as matrizes A e B sejam iguais, quais são os valores de a, b, c e d?

Matriz Transposta e Matriz Oposta

►Matriz Transposta
 

Dada uma matriz A, chamamos de matriz transposta trocando-se, “ordenadamente”, suas linhas por colunas. Indicamos a matriz transposta de A por Aᵀ.

Exemplos:

Observação:

A 1ª linha de A corresponde a 1ª coluna de Aᵀ.

A 2ª linha de A corresponde a 2ª coluna de Aᵀ.

►Matriz Oposta
Troca-se o sinal de todos os elementos de B encontramos a matriz oposta de B e indicamos por -B.

A matriz oposta a ela é:

Matriz Nula e Matriz Quadrada

►Matriz Nula

Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do número de linhas e colunas todos os seus elementos são iguais a zero. Por exemplo:



matriz de ordem 3 x 3

►Matriz Quadrada

Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o mesmo do número de linhas. Por exemplo:


matriz de ordem 3 x 3

►Diagonal Principal e Secundária

Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a presença de uma diagonal principal e uma diagonal secundária.

Matriz Linha e Matriz Coluna

Uma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de elementos em suas linhas e colunas ou apenas por características específicas. 

Matriz do tipo m x n, onde m significa o número de linhas e n o número de colunas.
Linhas - são filas horizontais.
Colunas - são filas verticais

►Matriz Linhas 

Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que possui apenas uma linha.Por exemplo: 

1 x 3 
matriz linha de ordem 1 x 3

►Matriz Coluna 

Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna.Por exemplo: 

5 x 1 
matriz coluna de ordem 5 x 1

Matrizes no nosso dia a dia

            
            Quando se estuda matrizes no ensino médio, dá-se um enfoque em preparar o aluno para entender o cálculo dos respectivos determinantes. Entendendo bem os deteminantes o aluno passa a ter condições de resolver sistemas lineares com maior facilidade, embora nem sempre fique claro que está se usando uma forma matricial no sistema linear.

A matriz e os determinantes não são encontrados apenas no estudo da matemática, mas também na engenharia, informática, tabelas financeiras, etc. Essa passagem, de certa forma rápida, pelo estudo das matrizes faz com que não percebamos quanto é importante a aplicação de matrizes em nosso dia a dia.